《证明的故事》[澳]约翰·史迪威（JohnStillwell）『EPUB电子书下载』

证明的故事 内容简介

证明是数学思想中十分重要且极具开拓性的特征之一。没有证明，我们就无法谈论真正的数学。

本书从古希腊几何学时代讲起，涵盖代数、微积分、集合、数论、拓扑、逻辑等几乎全部数学分支中的证明故事，讲述了证明的演变及其在数学中的重要作用和启发意义。我们将看到欧几里得、康托尔、哥德尔、图灵等数学大师的精彩发现和发明。本书不是教材，而是在讲数学的历史，更是在讲数学思想的演变。作者揭示了数学学习和研究的底层方法和逻辑，让读者看到在数学中什么定理可以被证明、如何证明，以及什么问题可以（或无法）被解决，为数学研究和发展提供了全新的视角。

◎编辑推荐

☆数学史泰斗约翰·史迪威新作。

☆没有证明，就没有真正的数学。

☆无论在数学中还是在生活中，人类不仅要知道哪些东西是真的，哪些不是真的，更要知道它们为什么是真的。

证明的故事 作者简介

[澳] 约翰·史迪威 / John Stillwell

澳大利亚数学家，美国麻省理工学院博士，旧金山大学荣休教授，首届美国数学学会会士（Fellow）。1994年国际数学家大会特邀报告人。

2005年荣获美国数学协会享有盛誉的“肖夫内奖”（Chauvenet Prize）。他是优秀的数学作者，本书和《数学及其历史》均为其代表作。

证明的故事 目录

序言iv
第1章　欧几里得之前1
1.1　勾股定理2
1.2　勾股数组4
1.3　无理数7
1.4　从无理数到无穷8
1.5　对无穷的敬畏11
1.6　欧多克斯12
1.7　附注15
第2章　欧几里得16
2.1　定义、定理和证明17
2.2　等腰三角形定理与SAS19
2.3　平行公设的变体22
2.4　再谈勾股定理25
2.5　代数概览26
2.6　数论与归纳法29
2.7　几何级数32
2.8　附注36
第3章　欧几里得之后38
3.1　关联39
3.2　顺序40
3.3　合同43
3.4　完备44
3.5　欧几里得平面47
3.6　三角形不等式49
3.7　射影几何50
3.8　帕普斯定理和德萨格定理54
3.9　附注58
第4章　代数60
4.1　二次方程61
4.2　三次方程63
4.3　作为“普遍算术”的代数67
4.4　多项式与对称函数68
4.5　近世代数：群72
4.6　近世代数：域与环76
4.7　线性代数80
4.8　近世代数：向量空间81
4.9　附注85
第5章　代数几何91
5.1　圆锥曲线92
5.2　费马和笛卡儿94
5.3　代数曲线96
5.4　三次曲线100
5.5　贝祖定理102
5.6　线性代数和几何104
5.7　附注106
第6章　微积分108
6.1　从列奥纳多到哈里奥特109
6.2　无穷求和111
6.3　牛顿的二项式级数115
6.4　巴塞尔问题的欧拉解法118
6.5　变化率120
6.6　面积和体积124
6.7　无穷小代数和几何128
6.8　级数微积分134
6.9　代数函数及其积分138
6.10　附注141
第7章　数论144
7.1　初等数论145
7.2　再谈勾股数组149
7.3　费马最后定理154
7.4　数论中的几何与微积分157
7.5　高斯整数163
7.6　代数数论171
7.7　代数数域174
7.8　环和理想178
7.9　整除和素理想183
7.10　附注186
第8章　代数基本定理190
8.1　在证明之前的定理190
8.2　代数基本定理的早期“证明”及其漏洞193
8.3　连续性和实数195
8.4　戴德金对实数的定义196
8.5　代数学家的基本定理198
8.6　附注200
第9章　非欧几里得几何201
9.1　平行公设202
9.2　球面几何203
9.3　球面几何的平面模型207
9.4　微分几何209
9.5　常曲率几何214
9.6　贝尔特拉米的双曲几何模型218
9.7　复数的几何222
9.8　附注224
第10章　拓扑学227
10.1　图228
10.2　欧拉多面体公式233
10.3　欧拉示性数和亏格237
10.4　作为曲面的代数曲线239
10.5　曲面的拓扑242
10.6　曲线奇点和纽结247
10.7　赖德迈斯特移动250
10.8　简单的纽结不变量253
10.9　附注258
第11章　算术化260
11.1　的完备性261
11.2　直线、平面和空间263
11.3　连续函数263
11.4　定义“函数”和“积分”265
11.5　连续性和可微性271
11.6　一致性273
11.7　紧致性277
11.8　编码连续函数281
11.9　附注283
第12章　集合论288
12.1　无穷简史289
12.2　等势集合291
12.3　与等势的集合297
12.4　序数299
12.5　用集合实现序数301
12.6　根据秩对集合排序305
12.7　不可达性306
12.8　无穷的悖论307
12.9　附注308
第13章　数、几何和集合的公理312
13.1　皮亚诺算术313
13.2　几何公理316
13.3　实数的公理318
13.4　集合论的公理319
13.5　附注322
第14章　选择公理324
14.1　选择公理和无穷325
14.2　选择公理和图论326
14.3　选择公理和分析学327
14.4　选择公理和测度论329
14.5　选择公理和集合论332
14.6　选择公理和代数学333
14.7　更弱的选择公理337
14.8　附注340
第15章　逻辑与计算342
15.1　命题逻辑343
15.2　命题逻辑的公理345
15.3　谓词逻辑350
15.4　哥德尔完备性定理352
15.5　逻辑归约为计算355
15.6　可计算枚举集357
15.7　图灵机359
15.8　半群的字问题365
15.9　附注370
第16章　不完全性375
16.1　从不可解性到不可证性376
16.2　句法的算术化377
16.3　根岑对PA一致性的证明380
16.4　算术中暗含的ε0384
16.5　可构造性387
16.6　算术概括390
16.7　弱柯尼希引理392
16.8　五大子系统394
16.9　附注396
参考文献397
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